На этом уроке мы повторим определение функции; рассмотрим примеры нахождения области определения и области значений функции; примеры выпуклости функции вверх и вниз ; примеры разрывной функции и другие свойства функции. Важным является множество значений функции. Итак, мы повторили, что такое функция, а также что такое область определения и множество значений функции. Но в первой функции все это происходит на множестве , а во второй функции все это происходит на множестве.

Итак, есть закон, есть область определения — одна функция. Есть тот же закон и другая область определения — другая функция. Построим графики этих функций рис. Имеем, ветвь параболы — это для первой функции. В точке -1 функция равна 1: Это часть параболы рис. Одна точка с координатами , а вторая точка с координатами. Итак, мы имеем две функции — график первой функции и график второй функции. Множество значений — это проекция графика функции на ось. Первая функция меняется на луче, а вторая — на отрезке.

Еще раз напомним важные понятия — область определения и множество значений. Вот данная функция рис. Но она не ограничена сверху — рис. А вот вторая функция рис. Первая функция имеет наименьшее значение. Ее наименьшее значение — значение 0. Это означает, что 0 достигается в какой-то точке.

Вторая функция имеет и наименьшее, и наибольшее значения. У функции также есть наибольшее значение. Следующее важное свойство функции — это ее выпуклость вверх либо выпуклость вниз. Возьмем график некоторой функции. Пусть он ведет себя таким образом рис.

Какие бы мы точки ни взяли — дуга лежит под хордой под отрезком. Говорят, что эта функция выпукла вниз дуга внизу , а вторая — выпукла вверх дуга находится над отрезком. Теперь мы готовы к строгому определению.

График этой функции — парабола. Возьмем любые две точки А и В , соединим их. Дуга кривая лежит ниже лежит под этим отрезком. Значит, эта функция выпукла вниз рис. На рисунке представлен график этой функции. Возьмем любые две точки А и В , не важно, далеко ли они отстоят друг от друга или близко.

Кривая находится сверху хорды — эта функция выпукла вверх рис. Предыдущие примеры обладают тем свойством, что функция на всей области определения была выпукла вверх или выпукла вниз. Но так бывает не всегда. Рассмотрим ее график — кубическая парабола. Значит, имеется одна выпуклость на множестве. На отрезке АВ функция выпукла вверх. Строгое доказательство выпуклости конкретных функций мы здесь не приводим. Следующее важное понятие — это непрерывность функции. При изучении функции часто бывает нужно охарактеризовать, насколько плавно меняется функция.

Непрерывность — одно из свойств, которое характеризует плавность изменения функции. Нарисуем ее график схематически — рис. И пусть график обладает следующим свойством: Если точка В находится под прямой, то все точки с достаточно близкими абсциссами тоже находятся под прямой рис. Функция называется непрерывной, если она обладает указанным свойством для всех действительных. Таково определение функции, непрерывной на данном множестве.

Для наглядности построим график этой функции. Ниже видим график функции рис. В точке 0 имеем нарушение указанных свойств. Есть точка, которая находится над этой прямой, но не все точки с близкими абсциссами находятся над этой прямой. Если абсцисса отрицательна, то соответствующая точка графика находится под прямой. На всей области определения данная функция не является непрерывной. Еще раз вернемся к определению.

Возьмем произвольное , любую точку А, если она находится над прямой, то все точки с достаточно близкими абсциссами находятся над прямой; если точка В находится под прямой, то все точки, с достаточно близкими абсциссами находятся тоже под прямой. Иногда говорят, что функция непрерывна, если ее график рисуется без отрыва карандаша ручки от листа бумаги. Ниже представлена непрерывная функция — ее график можно нарисовать, не отрывая карандаш от листа бумаги рис.

Свойства функций

График функции на рис. Дойдя до -1, нужно приподнять карандаш и нарисовать оставшуюся часть графика. Эта функция не является непрерывной рис. Непрерывность функции лежит в основе метода интервалов для решения неравенств. Суть этого метода основана на следующем утверждении. Вот график функции рис. В данном случае имеем три корня. Но теорема утверждает, что должен быть хотя бы один корень.

Отсюда следует, что непрерывная функция может изменить знак только при переходе аргумента через корни функции или через точки разрыва и ее области определения.

В этой точке функция имеет положительный знак рис. Значит, на всем интервале функция отрицательная. В этом и есть смысл метода интервалов. Он целиком и полностью основан на свойстве непрерывности функции. Среди множества всех функций выделяют четные функции и нечетные функции.

Область определения симметрична относительно точки. Если функция определена на отрезке, то на симметричном относительно 0 отрезке функция тоже определена. Значит, речь идет о таких функциях: Если оно не выполнено, то четностью или нечетностью функция не обладает. Итак, если функция обладает этими двумя свойствами, то она называется четной. Если , то она называется нечетной. Мы выяснили, что функция может быть четной или нечетной.

Далее мы рассмотрим очень важное свойство четной функции и важное свойство нечетной функции. Итак, рассмотрим сначала четную функцию. Так дело обстоит с четными функциями рис. Значение функции в т. График нечетной функции обладает симметрией относительно начала координат.

Мы говорили, что эта функция нечетная. Узнаем, функция четная или нечетная. Во-первых, исследуем область определения: Это означает невыполнение первого требования. Значит, эта функция не обладает свойствами четности или нечетности. Это функция общего вида. Как выглядит ее график? Изначально это прямая , но теперь на прямой мы выкололи одну точку.

Получается прямая с выколотой точкой рис. Итак, мы рассмотрели примеры четных функций, примеры нечетных функций и пример функции общего вида. Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам — сделайте свой вклад в развитие проекта. Алгебра, 10 Класcы 1 класс Математика Окружающий мир Русский язык Чтение 2 класс Математика Окружающий мир Русский язык Английский язык Чтение 3 класс Математика Окружающий мир Русский язык Английский язык Чтение 4 класс Математика Окружающий мир Русский язык Английский язык Чтение 5 класс Математика Информатика Природоведение Биология География Английский язык Всеобщая история Русский язык Литература Обществознание ОБЖ 6 класс Математика Информатика Биология География Английский язык Всеобщая история Русский язык История России Литература Обществознание ОБЖ 7 класс Алгебра Геометрия Физика Биология География Английский язык Всеобщая история Русский язык История России Литература Обществознание ОБЖ 8 класс Алгебра Геометрия Информатика География Химия Физика Биология Английский язык Всеобщая история Русский язык История России Литература Обществознание ОБЖ 9 класс Алгебра Геометрия Информатика География Химия Физика Биология Английский язык Всеобщая история Русский язык История России Литература Обществознание ОБЖ 10 класс Алгебра Геометрия География Химия Физика Биология Английский язык Всеобщая история Литература История России Обществознание ОБЖ 11 класс Алгебра Геометрия Биология Физика Химия Английский язык Всеобщая история Литература История России Обществознание ОБЖ ЕГЭ.

Алгебра 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс ЕГЭ Геометрия 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс ЕГЭ Математика 1 класс 2 класс 3 класс 4 класс 5 класс 6 класс Информатика 5 класс 6 класс 8 класс 9 класс Обществознание 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс ОБЖ 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс Физика 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс ЕГЭ Химия 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс Биология 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс Факультатив География 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс Природоведение 5 класс Окружающий мир 1 класс 2 класс 3 класс 4 класс Русский язык 1 класс 2 класс 3 класс 4 класс 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс Факультатив ЕГЭ Литература 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс История России 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс Видеословарь Всеобщая история 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс Спецкурс Английский язык 2 класс 3 класс 4 класс 5 - 6 классы 7 - 8 классы 9 класс 10 - 11 классы Чтение 1 класс 2 класс 3 класс 4 класс.

Видеоурок Текстовый урок Тренажеры Тесты Вопросы к уроку. Этот видеоурок доступен по абонементу Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках У вас уже есть абонемент? Это определение числовой функции.

Числовые функции. Свойства функции

Но используется стандартная терминология: Графики функций Имеем, ветвь параболы — это для первой функции. Различают функции ограниченные и не ограниченные снизу или сверху. Графики функций Она меняется в этих пределах рис. Ограниченность функции Но она не ограничена сверху — рис. Итак, мы рассмотрели функции, ограниченные и не ограниченные сверху и снизу. График выпуклой вниз функции И график второй функции. График выпуклой вверх функции Чем они отличаются?

Иллюстрация выпуклости функции Говорят, что эта функция выпукла вниз дуга внизу , а вторая — выпукла вверх дуга находится над отрезком. Приведем несколько конкретных примеров. Иллюстрация выпуклости вниз Рассмотрим еще одну функцию.

Иллюстрация выпуклости вверх Итак, мы дали общее определение функции, выпуклой вверх вниз , и привели конкретные примеры. График кубической параболы Таким образом, эта функция на одном участке выпукла вверх, а на другом — выпукла вниз. Иллюстрация непрерывности функции Функция называется непрерывной, если она обладает указанным свойством для всех действительных.

Приведем пример функции, которая не обладает указанным свойством. Пример разрывной функции В точке 0 имеем нарушение указанных свойств. Иллюстрация свойства непрерывной функции График функции на рис. Иллюстрация свойства разрывной функции Примем без доказательства следующее утверждение. Иллюстрация метода интервалов Значение функции положительное.

Значит, на всем интервале функция положительна. В этой точке функция отрицательная рис. Иллюстрация метода интервалов Значит, на всем интервале функция отрицательная. Итак, мы дали определение четной функции и нечетной функции. График чётной функции Свойство нечетных функций В т. Иллюстрация к определению нечётной функции Приведем примеры. Иллюстрация к примеру Итак, мы рассмотрели примеры четных функций, примеры нечетных функций и пример функции общего вида. Список литературы Мордкович А. Алгебра и начала математического анализа.

Домашнее задание Найти корни функции. Найти ОДЗ Определить поведение функции на интервалах: Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет Интернет-портал uztest.

Информация об уроке Комментарии 4 Поделиться В избранное Нашли ошибку? Комментарии к уроку Это вы. Код для вставки на сайт: Копируя приведенный ниже HTML-код, вы тем самым принимаете Условия использования. Центр образования Домашняя школа Репетитор ЕГЭ Univertv.

Смотрите также: